1995 yılında Konya’da doğmuştur. İlk ve orta öğrenimini Konya’da tamamlayan Bayrak, lise eğitimini Beyşehir Anadolu Öğretmen Lisesi’nde almıştır. Murat Bayrak, 2018 yılında Süleyman Demirel Üniversitesi Hukuk Fakültesi’nden mezun olmuştur. 2018 yılından bu yana Konya’da serbest avukat olarak mesleki faaliyetlerini sürdüren Bayrak, evli ve bir çocuk babasıdır.